Hemos analizado ya el concepto de Cálculo, así como qué es el Cálculo Diferencial e Integral, pero desde un punto de vista puramente matemático y de alguna manera conceptual, sin embargo, en pocas palabras, una manera práctica y sencilla, para definir a la Integral decimos que es la operación Suma, y la Derivada, se entiende como la Diferencia, luego entonces:
∫δ
Lo definiremos como: La Suma de la Diferencia…
Ahora bien, partiendo de esta relación biunívoca que existe entre ambas operaciones, analizaremos en qué consiste el: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO…
El Teorema Fundamental del Cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función
SON OPERACIONES INVERSAS. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en el análisis matemático o cálculo.
Llamamos fundamental a este teorema porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada, no obstante, este teorema se abordará más adelante.
Ahora bien, continuando con el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, tenemosque, gráficamente:
Observamos en el esquema anterior un área rayada en rojo, misma que puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Ahora bien, supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión d e esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A'(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.
Se muestra entonces que ƒ(x) = A'(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operacio nes "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.
…Dicho de otra manera…
Dada una función fintervalo [a,b], definim os F sobre [a,b] por |
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
 |
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivable.
- Demostración
A continuación, se explicará una demostración de lo analizado anteriormente:
- Teorema:
Sea [[f]] integrable sobre [a,b] y
Entonces
