sábado, 11 de junio de 2011

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO CON DIFERENCIAS FINITAS





"La Suma de todas las Diferencias es la Diferencia Total"





Es con esta idea que inicio este apartado en el que se abordará el Teorema Fundamental del Cálculo pero con Diferencias Finitas, para ello tenemos:





Sumar las Restas implica:



n
Σ Δxk =xn-x0
k=0


φ = ň

dn

Como ya se ha mencionado en este Blog, Isaac Barrow (1630-1677) fue un gran matemático, que si bien, para el año 1666 cede su investigación a su alumno Isaac Newton quien, entre otras cosas, da a conocer otros resultados y aportaciones al Cálculo Diferencial e Integral, por ello, considero que no debemos dejar de agradecer a Barrow tales aportaciones…


La suma y la resta son operaciones inversas, una cancela a la otra… según esta idea tenemos lo siguiente:


N
Σ Δ Xn = Δx0+Δx1+…+ΔxN
n=0





=X1-X0+X2-X1+…+XN-1-XN





ΔX0+ΔX1+…+ΔXN





Cada Xn aparece con signo positivo cuando es el final de un intervalo; vrg.:





X1, X2, …, XN





Y con signo negativo cuando es el principio de un intervalo, por ejemplo:


X0, X1, …, XN





Todos los valores intermedios (X1, X2, …, XN) son el final de un intervalo y el principio de otro; solo dos valores no toman un papel doble; es decir, el primero de todos No es el fina de ninguno (X0) y el último de todos No es el principio de ninguno (XN+1)


N
ΣΔ Xn = Xn+1-x0
n=0

Teoría de las Inteligencias Múltiples






De acuerdo al enfoque de la asignatura, además de contenidos matemáticos, durante las sesiones de clase también se abordaron contenidos acerca de Educación, y uno de los que más destacaron fue el de las llamadas Inteligencias Múltiples, teoría de Howard Gardner; cabe señalar que un aspecto que se consideró en el aula es que los humanos poseemos una serie de inteligencias y estas van a diferir en cada uno de nosotros, es decir, unos desarrollaremos más determinadas habilidades mientras que otros a nuestro alrededor desarrollaran unas distintas; y esto se ejemplificó en nosotros mismos dentro del aula pues, pese a que todos estudiamos un mismo contenido y aparentemente cursamos una misma formación profesional ( y me atrevo a utilizar el término "aparentemente" pues ya la mayoría, si no es que el 100% del grupo nos desempeñamos ya frente a un grupo de estudiantes lo cual implica que ya tuvimos antes otra formación profesional o algo que se le asemeje), por lo tanto, tenemos ya formado un ideal, desarrolladas determinadas habilidades, desplegadas algunas "Competencias", etc., y al abordar los contenidos en clase, son distintos los resultados que reflejamos pues mientras, por ejemplo algunos presentan facilidades en el manejo de tecnologías, otros lo hacen en contenidos matemáticos y quizá unos más en el aspecto pedagógico…





Para ondear un poco más en el asunto, presento a continuación un poco de información sobre esta teoría de aprendizaje:





La Teoría de las Inteligencias Múltiples, modelo propuesto por Howard Gardner, establece que la inteligencia no es vista como algo unitario, que agrupa diferentes capacidades específicas con distinto nivel de generalidad, sino como un conjunto de inteligencias múltiples, distintas e independientes. Gardner define la inteligencia como la "capacidad de resolver problemas o elaborar productos que sean valiosos en una o más culturas".





Primero, amplía el campo de lo que es la inteligencia y reconoce lo que se sabía intuitivamente: Que la brillantez académica no lo es todo. A la hora de desenvolverse en la vida no basta con tener un gran expediente académico. Hay gente de gran capacidad intelectual pero incapaz de, por ejemplo, elegir ya bien a sus amigos; por el contrario, hay gente menos brillante en el colegio que triunfa en el mundo de los negocios o en su vida personal. Triunfar en los negocios, o en los deportes, requiere ser inteligente, pero en cada campo se utiliza un tipo de inteligencia distinto. No mejor ni peor, pero sí distinto. Dicho de otro modo, Einstein no es más ni menos inteligente que Michael Jordan, simplemente sus inteligencias pertenecen a campos diferentes.





Segundo, y no menos importante, Gardner define la inteligencia como una capacidad. Hasta hace muy poco tiempo la inteligencia se consideraba algo innato e inamovible. Se nacía inteligente o no, y la educación no podía cambiar ese hecho. Tanto es así que en épocas muy cercanas a los deficientes psíquicos no se les educaba, porque se consideraba que era un esfuerzo inútil.





Considerando la importancia de la psicología de las inteligencias múltiples, ha de ser más racional tener un objeto para todo lo que hacemos, y no solo por medio de estas inteligencias. Puesto que deja de lado la objetividad, que es el orden para captar el mundo.





  • Tipos de inteligencia


Howard Gardner añade que así como hay muchos tipos de problemas que resolver, también hay muchos tipos de inteligencia. Hasta la fecha Howard Gardner y su equipo de la Universidad Harvard han identificado ocho tipos distintos:





***Inteligencia lingüística





El don del lenguaje es universal y su desarrollo en los niños es sorprendentemente similar en todas las culturas. Incluso en el caso de personas sordas a las que no se les ha enseñado explícitamente un lenguaje por señas, a menudo inventan un lenguaje manual propio y lo usan espontáneamente. En consecuencia, podemos decir que una inteligencia puede operar independientemente de una cierta modalidad en el estímulo o una forma particular de respuesta.









  1. Aspectos biológicos - Un área específica del cerebro llamada "área de Broca" es la responsable de la producción de oraciones gramaticales. Una persona con esa área lesionada, puede comprender palabras y frases sin problemas, pero tiene dificultades para construir frases más sencillas. Al mismo tiempo, otros procesos mentales pueden quedar completamente ilesos.




  2. Capacidades implicadas - Capacidad para comprender el orden y el significado de las palabras en la lectura, la escritura, y también al hablar y escuchar.




  3. Habilidades relacionadas - Hablar y escribir eficazmente.




  4. Perfiles profesionales - Líderes políticos o religiosos, poetas, escritores, etc.




***Inteligencia lógica-matemática





En los individuos especialmente dotados en esta forma de inteligencia, el proceso de resolución de problemas a menudo es extraordinariamente rápido: el científico competente maneja simultáneamente muchas variables y crea numerosas hipótesis que son evaluadas sucesivamente y posteriormente son aceptadas o rechazadas.





Es importante puntualizar la naturaleza no verbal de la inteligencia matemática. En efecto, es posible construir la solución del problema antes de que ésta sea articulada.





Junto con su compañera, la inteligencia lingüística, el razonamiento matemático proporciona la base principal para los test de CI. Esta forma de inteligencia ha sido investigada en profundidad por los psicólogos tradicionales y constituye tal vez el arquetipo de "inteligencia en bruto" o de la validad para resolver problemas que supuestamente pertenecen a cualquier terreno. Sin embargo, aún no se comprende plenamente el mecanismo por el cual se alcanza una solución a un problema lógico-matemático.









  1. Capacidades implicadas - Capacidad para identificar modelos, calcular, formular y verificar hipótesis, utilizar el método científico y los razonamientos inductivo y deductivo.




  2. Habilidades relacionadas - Capacidad para identificar modelos, calcular, formular y verificar hipótesis, utilizar el método científico y los razonamientos inductivo y deductivo.




  3. Perfiles profesionales - Economistas, ingenieros, científicos, etc.




***Inteligencia espacial





La resolución de problemas espaciales se aplica a la navegación y al uso de mapas como sistema notacional. Otro tipo de solución a los problemas espaciales, aparece en la visualización de un objeto visto desde un ángulo diferente y en el juego del ajedrez. También se emplea este tipo de inteligencia en las artes visuales.









  1. Aspectos biológicos - El hemisferio derecho (en las personas diestras) demuestra ser la sede más importante del cálculo espacial. Las lesiones en la región posterior derecha provocan daños en la habilidad para orientarse en un lugar, para reconocer caras o escenas o para apreciar pequeños detalles.




Los pacientes con daño específico en las regiones del hemisferio derecho, intentarán compensar su déficit espacial con estrategias lingüísticas: razonarán en voz alta para intentar resolver una tarea o se inventarán respuestas. Pero las estrategias lingüísticas no parecen eficientes para resolver tales problemas.





Las personas ciegas proporcionan un claro ejemplo de la distinción entre inteligencia espacial y perspectiva visual. Un ciego puede reconocer ciertas formas a través de un método indirecto, pasar la mano a lo largo de un objeto, por ejemplo, construye una noción diferente a la visual de longitud. Para el invidente, el sistema perceptivo de la modalidad táctil corre en paralelo a la modalidad visual de una persona visualmente normal. Por lo tanto, la inteligencia espacial sería independiente de una modalidad particular de estímulo sensorial.









  1. Capacidades implicadas - Capacidad para presentar ideas visualmente, crear imágenes mentales, percibir detalles visuales, dibujar y confeccionar bocetos.




  2. Habilidades relacionadas - Realizar creaciones visuales y visualizar con precisión.




  3. Perfiles profesionales - Artistas, fotógrafos, guías turísticos, etc.




***Inteligencia musical





Los datos procedentes de diversas culturas hablan de la universalidad de la noción musical. Incluso los estudios sobre el desarrollo infantil sugieren que existe una habilidad computacional en la primera infancia hasta que el aprendizaje de notación musical proporciona más tarde, cuando es aprendido, un sistema simbólico lúcido y accesible.









  1. Aspectos biológicos - Ciertas áreas del cerebro desempeñan papeles importantes en la percepción y la producción musical. Éstas, situadas por lo general en el hemisferio derecho, no están localizadas con claridad como sucede con el lenguaje. Sin embargo, pese a la falta de susceptibilidad concreta respecto a la habilidad musical en caso de lesiones cerebrales, existe evidencia de "amusia" (pérdida de habilidad musical).




  2. Capacidades implicadas - Capacidad para escuchar, cantar, tocar instrumentos.




  3. Habilidades relacionadas - Crear y analizar música.




  4. Perfiles profesionales - Músicos, compositores, críticos musicales, etc.




***Inteligencia corporal cinética





La evolución de los movimientos corporales especializados es de importancia obvia para la especie, y en los humanos esta adaptación se extiende al uso de herramientas. El movimiento del cuerpo sigue un desarrollo claramente definido en los niños y no hay duda de su universalidad cultural.





La consideración del conocimiento cinético corporal como "apto para la solución de problemas" puede ser menos intuitiva; sin embargo utilizar el cuerpo para expresar emociones (danza) o para competir (deportes), o para crear (artes plásticas) constituye evidencias de la dimensión cognitiva del uso corporal.









  1. Aspectos biológicos - El control del movimiento corporal se localiza en la corteza motora, y cada hemisferio domina o controla los movimientos corporales correspondientes al lado opuesto. En los diestros, el dominio de este movimiento se suele situar en el hemisferio izquierdo. La habilidad para realizar movimientos voluntarios puede resultar dañada, incluso en individuos que puedan ejecutar los mismos movimientos de forma refleja o involuntaria. La existencia de apraxia específica constituye una línea de evidencia a favor de una inteligencia cinética corporal.




  2. Capacidades implicadas - Capacidad para realizar actividades que requieren fuerza, rapidez, flexibilidad, coordinación óculo-manual y equilibrio.




  3. Habilidades relacionadas - Utilizar las manos para crear o hacer reparaciones, expresarse a través del cuerpo.




  4. Perfiles profesionales - Escultores, cirujanos, actores, bailarines, etc.




***Inteligencia intrapersonal





La inteligencia intrapersonal es el conocimiento de los aspectos internos de una persona: el acceso a la propia vida emocional, a la propia gama de sentimiento, la capacidad de efectuar discriminaciones entre ciertas emociones y finalmente, ponerles un nombre y recurrir a ellas como medio de interpretar y orientar la propia conducta.





Las personas que poseen una inteligencia intrapersonal notable, poseen modelos viables y eficaces de sí mismos. Pero al ser esta forma de inteligencia la más privada de todas, requiere otras formas expresivas para que pueda ser observada en funcionamiento.





La inteligencia interpersonal permite comprender y trabajar con los demás, la intrapersonal, permite comprenderse mejor y trabajar con uno mismo. En el sentido individual de uno mismo, es posible hallar una mezcla de componentes intrapersonal e interpersonales.





El sentido de uno mismo es una de las más notables invenciones humanas: simboliza toda la información posible respecto a una persona y qué es. Se trata de una invención que todos los individuos construyen para sí mismos.









  1. Aspectos biológicos - Los lóbulos frontales desempeñan un papel central en el cambio de la personalidad, los daños en el área inferior de los lóbulos frontales puede producir irritabilidad o euforia; en cambio, los daños en la parte superior tienden a producir indiferencia, languidez y apatía (personalidad depresiva).




  2. Entre los afásicos que se han recuperado lo suficiente como para describir sus experiencias se han encontrado testimonios consistentes: aunque pueda haber existido una disminución del estado general de alerta y una considerable depresión debido a su estado, el individuo no se siente a sí mismo una persona distinta, reconoce sus propias necesidades, carencias, deseos e intenta atenderlos lo mejor posible.




  3. Capacidades implicadas - Capacidad para plantearse metas, evaluar habilidades y desventajas personales, y controlar el pensamiento propio.




  4. Habilidades relacionadas - Meditar, exhibir disciplina personal, conservar la compostura y dar lo mejor de sí mismo.




  5. Perfiles profesionales - Individuos maduros que tienen un autoconocimiento rico y profundo.




***Inteligencia interpersonal





La inteligencia interpersonal se constituye a partir de la capacidad nuclear para sentir distinciones entre los demás, en particular, contrastes en sus estados de ánimo, temperamento, motivaciones e intenciones. Esta inteligencia le permite a un adulto hábil, leer las intenciones y los deseos de los demás, aunque se los hayan ocultado. Esta capacidad se da de forma muy sofisticada en los líderes religiosos, políticos, terapeutas y maestros. Esta forma de inteligencia no depende necesariamente del lenguaje.





Aspectos biológicos - Todos los indicios proporcionados por la investigación cerebral sugieren que los lóbulos frontales desempeñan un papel importante en el conocimiento interpersonal, los daños en esta área pueden causar cambios profundos en la personalidad aunque otras formas de la resolución de problemas puedan quedar inalteradas: una persona no es la misma después de la lesión.





La evidencia biológica de la inteligencia interpersonal abarca factores adicionales que a menudo se consideran excluyentes de la especie humana:





La prolongada infancia de los primates, que establece un vínculo estrecho con la madre, favorece el desarrollo intrapersonal.





La importancia de la interacción social entre los humanos que demandan participación y cooperación. La necesidad de cohesión al grupo, de liderazgo, de organización y solidaridad, surge como consecuencia de la necesidad de supervivencia.









  1. Capacidades implicadas - Trabajar con gente, ayudar a las personas a identificar y superar problemas.




  2. Habilidades relacionadas - Capacidad para reconocer y responder a los sentimientos y personalidades de los otros.




  3. Perfiles profesionales - Administradores, docentes, psicólogos, terapeutas.[1]




***Inteligencia naturalista





Se describe como la competencia para percibir las relaciones que existen entre varias especies o grupos de objetos y personas, así como reconocer y establecer si existen distinciones y semejanzas entre ellos.





Los naturalistas suelen ser hábiles para observar, identificar y clasificar a los miembros de un grupo o especie, e incluso para descubrir nuevas especies. Su campo de observación más afín es el mundo natural, donde pueden reconocer flora y fauna, y utilizar productivamente sus habilidades en actividades de caza, ciencias biológicas y conservación de la naturaleza.





Pero puede ser aplicada también en cualquier ámbito de la ciencia y la cultura, porque las características de este tipo de inteligencia se ciñen a las cualidades esperadas en personas que se dedican a la investigación y siguen los pasos propios del método científico.





En realidad todos aplicamos la inteligencia naturalista al reconocer plantas, animales, personas o elementos de nuestro entorno natural. Las interacciones con el medio físico nos ayudan a desarrollar la percepción de las causas y sus efectos y los comportamientos o fenómenos que puedan existir en el futuro; como por ejemplo la observación de los cambios climáticos que se producen en el transcurso de las estaciones del año y su influencia entre los humanos, los animales y las plantas.





Gardner postula que este tipo de inteligencia debió tener su origen en las necesidades de los primeros seres humanos, ya que su sobrevivencia dependía en gran parte del reconocimiento que hicieran de especies útiles y perjudiciales, de la observación del clima y sus cambios y de ampliar los recursos disponibles para la alimentación.





***La inteligencia, una combinación de factores***





Según esta teoría, todos los seres humanos poseen las ocho inteligencias en mayor o menor medida. Al igual que con los estilos de aprendizaje no hay tipos puros, y si los hubiera les resultaría imposible funcionar. Un ingeniero necesita una inteligencia espacial bien desarrollada, pero también necesita de todas las demás, de la inteligencia lógico matemática para poder realizar cálculos de estructuras, de la inteligencia interpersonal para poder presentar sus proyectos, de la inteligencia corporal - cinestésica para poder conducir su coche hasta la obra, etc. Gardner enfatiza el hecho de que todas las inteligencias son igualmente importantes y, según esto, el problema sería que el sistema escolar vigente no las trata por igual sino que prioriza las dos primeras de la lista, (la inteligencia lógico -matemática y la inteligencia lingüística). Sin embargo en la mayoría de los sistemas escolares actuales se promueve que los docentes realicen el proceso de enseñanza y aprendizaje a través de actividades que promuevan una diversidad de inteligencias, asumiendo que los alumnos poseen diferente nivel de desarrollo de ellas y por lo tanto es necesario que todos las pongan en práctica.





Para Gardner es evidente que, sabiendo lo que se sabe sobre estilos de aprendizaje, tipos de inteligencia y estilos de enseñanza, es absurdo que se siga insistiendo en que todos los alumnos aprendan de la misma manera. La misma materia se podría presentar de formas muy diversas que permitan al alumno asimilarla partiendo de sus capacidades y aprovechando sus puntos fuertes. Además, tendría que plantearse si una educación centrada en sólo dos tipos de inteligencia es la más adecuada para preparar a los alumnos para vivir en un mundo cada vez más complejo.

Divergencia…



Representación gráfica de la Divergencia Vectorial...


La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.




***Divergencia de un campo vectorial


La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

→ → → →
div F =
V . F = lim 1 § F . dS
ΔV→0 ΔV s


donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo V representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.


Se llaman fuentes escalares del campo F al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de F


→ → →


p (r) = V . F (r)




La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.



***Coordenadas cartesianas



Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
→ →
F (r) = Fx (x,y,z) + Fy (x,y,z) ĵ + Fz (x,y,z) ǩ
el resultado es sencillo:




V . F = δFx + δFy + δFz


δx δy δz





***Coordenadas ortogonales


Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:


V. F = __1 (δ(F1h2h3) + δ(h1F2h3) + δ(h1h2F3))


1h2h3 δq1 δq2 δq3


Donde los h1son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas(hp= hz =1, hɕ= p ) resulta:



V . F = 1 (δ(pFp) + 1 δ(Fɕ) + 1 δ(pFz) )



p δp p δɕ p δz

Para coordenadas esféricas ( hr=1, hq=r, hɕ= rsenq) resulta


***Divergencia de un campo tensorial


El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico






Se define como:




Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:






***Teorema de la divergencia


El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroestática como en la mecánica de fluidos.



El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre un conjunto ΩÌR3y sea RÌΩ un conjunto cerrado limitado por una frontera δr o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:














Rotacional…

Representaciòn gràfica del Movimiento Rotacional...



¿Qué es Rotacional?

Observemos:






En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.




Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:



→ → → → → →
U . rot F = U .
V x F ≡ lim 1 ф F .dr


Δs→0 Δs



Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.




Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:


La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.




***Fuente vectorial y escalar



Al campo vectorial, J que se obtiene calculando el rotacional de un campo en cada punto,



J= V x F


se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).




Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar:
V x f = 0 en Ω simplemente conexo → f = V ø



***Expresión en coordenadas cartesianas




Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es


V x F = δFzδFy + δ Fy - δFx
δy δz δz δx


que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:




ẋ ẏ ẑ



V x F = δ δ δ
δx δy δz


Fx Fy Fz


Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.


En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:




(
V x F) k = Ɛ klm δlFm





***Expresión mediante formas diferenciales




Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:




dF


Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como P (dx ˄ dy) + Q (dy˄dz) + R (dx ˄ dz). Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.


***Propiedades




  1. Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,


→ →
E = -
V ø <=> V x E = 0


2.- Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.



→ →


E = f (r) ṙ → V x E = 0






  • En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.


El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

V . (V x F) ≡ 0






+++NOTA: Para estos apuntes, se utilizó el símbolo "V"
para representar al símbolo nabla+++

Gradiente…

En este caso, el gradiente es representado con flechas azulez...




En cálculo vectorial, el Gradiente
v
f de un campo escalar f , es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la dirección de máximo incremento del mismo. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla v seguido de la función…





***Definición…





Si tomamos como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:






Vf (r) = δf (r), …, δf(r)





δx1 δxn





Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:






δφ Ξ lim φ(r-Ɛň) – φ(r)





δn Ɛ → 0 Ɛ





Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:






dφ = n .
Vφ





δn





Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:





grad φ = V φ





***Interpretación del gradiente





De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:













  • Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto (x,y,z), la temperatura es φ (x,y,z). Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.








  • Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.




***Propiedades





El gradiente verifica que:













  • Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por φ=cte.








  • Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.








  • Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.








  • Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla). →








  • El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es: V X (Vφ) Ξ 0









*** Gradiente de un campo vectorial





En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de F un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento






d F= F(r+dr) – F(r)=(VF) .dr





Este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.





***Aplicaciones













  • Aproximación lineal de una función




El gradiente de una función f definida de RnR caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:






g (x) = f(X0)+ (Vxf(X0))T (X Xo) donde Vx f (X0) es el gradiente evaluado en x0













  • Aplicaciones en física




La interpretación física del gradiente es la siguiente mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.





El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.





*Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:





E= -Vφ





*Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:





F= - V v





*Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas





q= - k VT





siendo la conductividad térmica.




















+++NOTA: Para estos apuntes, se utilizó el símbolo "V"
para representar al símbolo nabla+++






miércoles, 8 de junio de 2011

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO



Hemos analizado ya el concepto de Cálculo, así como qué es el Cálculo Diferencial e Integral, pero desde un punto de vista puramente matemático y de alguna manera conceptual, sin embargo, en pocas palabras, una manera práctica y sencilla, para definir a la Integral decimos que es la operación Suma, y la Derivada, se entiende como la Diferencia, luego entonces:

∫δ

Lo definiremos como: La Suma de la Diferencia…

Ahora bien, partiendo de esta relación biunívoca que existe entre ambas operaciones, analizaremos en qué consiste el: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO…

El Teorema Fundamental del Cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función
SON
OPERACIONES INVERSAS. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en el análisis matemático o cálculo.

Llamamos fundamental a este teorema porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada, no obstante, este teorema se abordará más adelante.

Ahora bien, continuando con el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, tenemosque, gráficamente:


Observamos en el esquema anterior un área rayada en rojo, misma que puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.

Ahora bien, supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión d e esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(xh A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene



Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A'(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces que ƒ(x) = A'(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operacio nes "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

…Dicho de otra manera…

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivable.

  • Demostración

    A continuación, se explicará una demostración de lo analizado anteriormente:


  • Teorema:

Sea [[f]] integrable sobre [a,b] y

Entonces