TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO CON DIFERENCIAS FINITAS

"La Suma de todas las Diferencias es la Diferencia Total"

Es con esta idea que inicio este apartado en el que se abordará el Teorema Fundamental del Cálculo pero con Diferencias Finitas, para ello tenemos:

Sumar las Restas implica:

n
Σ Δxk =xn-x0
k=0

φ = dφ ň

dn

Como ya se ha mencionado en este Blog, Isaac Barrow (1630-1677) fue un gran matemático, que si bien, para el año 1666 cede su investigación a su alumno Isaac Newton quien, entre otras cosas, da a conocer otros resultados y aportaciones al Cálculo Diferencial e Integral, por ello, considero que no debemos dejar de agradecer a Barrow tales aportaciones…

La suma y la resta son operaciones inversas, una cancela a la otra… según esta idea tenemos lo siguiente:

N
Σ Δ Xn = Δx0+Δx1+…+ΔxN
n=0

=X1-X0+X2-X1+…+XN-1-XN

ΔX0+ΔX1+…+ΔXN

Cada Xn aparece con signo positivo cuando es el final de un intervalo; vrg.:

X1, X2, …, XN

Y con signo negativo cuando es el principio de un intervalo, por ejemplo:

X0, X1, …, XN

Todos los valores intermedios (X1, X2, …, XN) son el final de un intervalo y el principio de otro; solo dos valores no toman un papel doble; es decir, el primero de todos No es el fina de ninguno (X0) y el último de todos No es el principio de ninguno (XN+1)

N
ΣΔ Xn = Xn+1-x0
n=0