Rotacional…

Representaciòn gràfica del Movimiento Rotacional...



¿Qué es Rotacional?

Observemos:

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

→ → → → → →
U . rot F = U . V x F ≡ lim 1 ф F .dr

Δs→0 Δs

Aquí, ΔS es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ΔS y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

***Fuente vectorial y escalar

Al campo vectorial, J que se obtiene calculando el rotacional de un campo en cada punto,

J= V x F

se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar:
V x f = 0 en Ω simplemente conexo → f = V ø

***Expresión en coordenadas cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

→
V x F = δFz – δFy ẋ + δ Fy - δFx ẑ
δy δz δz δx

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

ẋ ẏ ẑ

→
V x F = δ δ δ
δx δy δz

Fx Fy Fz

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

→
(V x F) k = Ɛ klm δlFm

***Expresión mediante formas diferenciales

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:

dF

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como P (dx ˄ dy) + Q (dy˄dz) + R (dx ˄ dz). Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

***Propiedades

1. 
   
   Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,
   
   

→ →
E = -V ø <=> V x E = 0

2.- Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

→ →

E = f (r) ṙ → V x E = 0

• 
  

  En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:
→
V . (V x F) ≡ 0

+++NOTA: Para estos apuntes, se utilizó el símbolo "V"
para representar al símbolo nabla+++